計量培訓:通用計量術語知識講座
中國計量科學研究院  施昌彥

一、測量誤差和相對誤差

　　1.[測量]誤差是指“測量結果減去被測量的真值”(5.16條)。
　　這個定義從20世紀70年代以來沒有發生過變化，以公式表示為:測量誤差=測量結果-真值。測量結果是由測量所得到的賦予被測量的值，是客觀存在的量的實驗表現，僅是對測量所得被測量之值的近似或估計，顯然它是人們認識的結果，不僅與量的本身有關，而且與測量程序、測量儀器、測量環境以及測量人員等有關。真值是量的定義的完整體現，是與給定的特定量的定義完全一致的值，它是通過完善的或完美無缺的測量，才能獲得的值。所以，真值反映了人們力求接近的理想目標或客觀真理，本質上真值是不能確定的，量子效應排除了唯一真值的存在，實際上用的是約定真值，須以測量不確定度來表征其所處的范圍。因而作為測量結果與真值之差的測量誤差，也是無法準確得到或確切獲知的。

　　這里應予指出的是:過去人們有時會誤用誤差一詞，即通過誤差分析給出的往往是被測量值不能確定的范圍，而不是真正的誤差值。按定義誤差與測量結果有關，即不同的測量結果有不同的誤差，合理賦予的被測量之值，各有其誤差而并不存在一個共同的誤差。一個測量結果的誤差，若不是正值(正誤差)就是負值(負誤差)，它取決于這個結果是大于還是小于真值。
　　如圖所示，被測量值為y，其真值為t，第i次測量所得的觀測值或測得值為y_i。由于誤差的存在使測得值與真值不能重合，設測得值呈正態分布N(μ，σ)，則分布曲線在數軸上的位置(即μ值)決定了系統誤差的大小，曲線的形狀(按σ值)決定了隨機誤差的分布范圍[μ-kσ，μ+kσ]及其在范圍內取值的概率。由圖可見，誤差和它的概率分布密切相關，可以用概率論和數理統計的方法來恰當處理。實際上，誤差可表示為:
　　誤差=測量結果-真值=(測量結果-總體均值)+(總體均值-真值)=隨機誤差+系統誤差
    

　　因此，任意一個誤差Δ_i均可分解為系統誤差ε_i和隨機誤差δ_i的代數和(見5.19和5.20條)，即可用下式表示為Δ_i=ε_i+δ_i。實際上，測量結果的誤差往往是由若干個分量組成的，這些分量按其特性均可分為隨機誤差與系統誤差兩大類，而且無例外地取各分量的代數和，換言之，測量誤差的合成只用“代數和”方式。
　　不要把誤差與不確定度混為一談。測量不確定度表明賦予被測量之值的分散性，它與人們對被測量的認識程度有關，是通過分析和評定得到的一個區間。測量誤差則是表明測量結果偏離真值的差值，它客觀存在但人們無法準確得到 。例如:測量結果可能非常接近于真值(即誤差很小)，但由于認識不足，人們賦予的值卻落在一個較大區間內(即測量不確定度較大)；也可能實際上測量誤差較大，但由于分析估計不足，使給出的不確定度偏小。國際上開始研制成功銫原子頻率標準時，經分析其測量不確定度達到10^-15量級，運行一段時間后，發現有一項重要因素不可忽視，經再次分析和評定，不確定度擴大到10^-14量級，這說明人們的認識提高了。因此，在評定測量不確定度時應充分考慮各種影響因素，并對不確定度的評定進行必要的驗證。
　　當有必要與相對誤差相區別時，此術語有時稱為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的絕對值相混淆，后者為誤差的模。

　　2.相對誤差是指“測量誤差除以被測量的真值”(5.18條)。
　　設測量結果y減去被測量約定真值t，所得的誤差或絕對誤差為Δ。按定義將絕對誤差Δ除以約定真值t，即可求得相對誤差為δ=Δ/t×100%=(y-t)/t×100%。所以，相對誤差表示絕對誤差所占約定真值的百分比，它也可用數量級來表示所占的份額或比例，即表示為
　　δ=[(y/t-1)×10ⁿ]×10^-n
　　當被測量的大小相近時，通常用絕對誤差進行測量水平的比較。當被測量值相差較大時，用相對誤差才能進行有效的比較。例如:測量標稱值為10.2mm的甲棒長度時得到實際值為10.0mm，其示值誤差Δ=0.2mm；而測量標稱值為100.2mm的乙棒長度時得到實際值為100.0mm，其示值誤差Δ′=0.2mm。它們的絕對誤差雖然相同，但乙棒的長度是甲棒的10倍左右，顯然要比較或反映兩者不同的測量水平，還須用相對誤差或誤差率的概念。即δ=0.2/10.0=2%，而δ′=0.2/100.0=0.2%，所以乙棒比甲棒準確，或者用數量級表示為δ=2×10^-2，δ′=2×10^-3，從而也反映出后者的測量水平高于前者一個數量級。

　　另外，在某些場合下應用相對誤差還有方便之處。例如:已知質量流量計的相對誤差為δ，用它測定流量為Q(kg/s)的某管道所通過的流體質量及其誤差。經過時間T(s)后流過的質量為QT(kg)，故其絕對誤差為QδT(kg)。所以，質量的相對誤差仍為QδT/(QT)=δ，而與時間T無關。
　　還應指出的是:絕對誤差與被測量的量綱相同，而相對誤差是量綱一的量或無量綱量。 

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　　二、隨機誤差和系統誤差

　　1.隨機誤差是指“測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差”(5.19條)。
　　這是1993年由BIPM、IEC、ISO、OIML等國際組織做了原則修改后的新定義。它表明測量結果是真值、系統誤差與隨機誤差這三者的代數和；而測量結果與無限多次測量所得結果的平均值(即總體均值)差，則是這一測量結果的隨機誤差分量。隨機誤差等于誤差減去系統誤差。1993年前，隨機誤差被定義為在同一量的多次測量過程中，以不可預知方式變化的測量誤差的分量。
　　老定義中這個以不可預知方式變化的分量，是指相同條件下多次測量時誤差的絕對值和符號變化不定的分量，它時大時小、時正時負、不可預定。例如:天平的變動性、測微儀的示值變化等，都是隨機誤差分量的反映。事實上，多次測量時的條件不可能絕對地完全相同，多種因素的起伏變化或微小差異綜合在一起，共同影響而致使每個測得值的誤差以不可預定的方式變化。現在，隨機誤差是按其本質進行定義的，但可能確定的只是其估計值，因為測量只能進行有限次數，重復測量也是在“重復性條件”下進行的(見5.6條)。就單個隨機誤差估計值而言，它沒有確定的規律；但就整體而言，卻服從一定的統計規律，故可用統計方法估計其界限或它對測量結果的影響。

　　隨機誤差大抵來源于影響量的變化，這種變化在時間上和空間上是不可預知的或隨機的，它會引起被測量重復觀測值的變化，故稱之為“隨機效應”。可以認為正是這種隨機效應導致了重復觀測中的分散性，我們用統計方法得到的實驗標準[偏]差是分散性，確切地說是來源于測量過程中的隨機效應，而并非來源于測量結果中的隨機誤差分量。
　　隨機誤差的統計規律性，主要可歸納為對稱性、有界性和單峰性三條:

　　1.對稱性是指絕對值相等而符號相反的誤差，出現的次數大致相等，也即測得值是以它們的算術平均值為中心而對稱分布的。由于所有誤差的代數和趨近于零，故隨機誤差又具有抵償性，這個統計特性是最為本質的；換言之，凡具有抵償性的誤差，原則上均可按隨機誤差處理。
　　2.有界性是指測得值誤差的絕對值不會超過一定的界限，也即不會出現絕對值很大的誤差。
　　3.單峰性是指絕對值小的誤差比絕對值大的誤差數目多，也即測得值是以它們的算術平均值為中心而相對集中地分布的。

　　2.系統誤差是指“在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差”(5.20條)。
　　由于只能進行有限次數的重復測量，真值也只能用約定真值代替，因此如真值一樣，系統誤差及其原因不能完全獲知可能確定的系統誤差，只是其估計值，并具有一定的不確定度。這個不確定度也就是修正值的不確定度，它與其他來源的不確定度分量一樣貢獻給了合成標準不確定度。值得指出的是:不宜按過去的說法把系統誤差分為已定系統誤差和未定系統誤差，也不宜說未定系統誤差按隨機誤差處理。因為這里所謂的未定系統誤差，其實并不是誤差分量而是不確定度；而且所謂按隨機誤差處理，其概念也是不容易說得清楚的。
　　系統誤差大抵來源于影響量，它對測量結果的影響若已識別并可定量表述，則稱之為“系統效應”(systematic effect)。該效應的大小若是顯著的，則可通過估計的修正值予以補償。例如:高阻抗電阻器的電位差(被測量)是用電壓表測量的，為減少電壓表負載效應給測量結果帶來的“系統效應”，應對該表的有限阻抗進行修正。但是，用以估計修正值的電壓表阻抗與電阻器阻抗(它們均由其它測量獲得)，本身就是不確定的。這些不確定度可用于評定電位差的測量不確定度分量，它們來源于修正，從而來源于電壓表有限阻抗的系統效應。另外，為了盡可能消除系統誤差，測量器具須經常地用計量標準或標準物質進行調整或校準；但是同時須考慮的是:這些標準自身仍帶著不確定度。

　　至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術語，它們前面帶有正負(±)號，因而是一種可能誤差的分散區間，并不是某個測量結果的誤差。對于測量儀器而言，其示值的系統誤差稱為測量儀器的“偏移”(bias)，通常用適當次數重復測量示值誤差的均值來估計。
　　過去所謂的“誤差傳播定律”，所傳播的其實并不是誤差，而是不確定度。現在已改稱為“不確定度傳播定律”。還要指出的是:誤差一詞應按其定義使用，不宜用它來定量表明測量結果的可靠程度。
　　歸納一下《通用計量術語及定義》5.16～5.20條以及5.9～5.14條的要點，可將測量誤差與測量不確定度之間存在的主要區別用下表簡示。
    

　　三、修正值、修正因子及偏差

　　1.修正值是指“用代數方法與未修正測量結果相加，以補償其系統誤差的值”(5.21條)。
　　含有誤差的測量結果，加上修正值后就可能補償或減少誤差的影響。由于系統誤差不能完全獲知，因此這種補償并不完全。修正值等于負的系統誤差，這就是說加上某個修正值，就像扣掉某個系統誤差，其效果是一樣的，只是人們考慮問題的出發點不同而已:
　　真值=測量結果+修正值=測量結果-誤差
　　在量值溯源和量值傳遞中，常常采用這種加修正值的直觀的辦法。用高一個等級的計量標準來校準或檢定測量儀器，其主要內容之一就是要獲得準確的修正值。例如:用頻率為fs的標準振蕩器作為信號源，測得某臺送檢的頻率計的示值為f，則示值誤差Δ為f-fs。所以，在今后使用這臺頻率計時應扣掉這個誤差，即加上修正值(-Δ)，可得f+(-Δ)，這樣就與fs一致了。換言之，系統誤差可以用適當的修正值來估計并予以補償。但應強調指出:由于系統誤差不能完全獲知，因此這種補償是不完全的，也即修正值本身就含有不確定度。當測量結果以代數和方式與修正值相加之后，其系統誤差之模會比修正前的要小，但不可能為零，也即修正值只能對系統誤差進行有限程度的補償。

　　2.修正因子是指“為補償系統誤差而與未修正測量結果相乘的數字因子”(5.22條)。
　　含有系統誤差的測量結果，乘以修正因數后就可以補償或減少誤差的影響。比方由于等臂天平的不等臂誤差，不等臂天平的臂比誤差，線性標尺分度時的倍數誤差，以及測量電橋臂的不等稱誤差所帶來的測量結果中的系統誤差，均可以通過乘一個修正因數得以補償。但是，由于系統誤差并不能完全獲知，因而這種補償是不完全的，也即修正因數本身仍含有不確定度。
　　通過修正因子或修正值已進行了修正的測量結果，即使具有較大的不確定度，但可能仍然十分接近被測量的真值(即誤差甚小)，因此，不應把測量不確定度與已修正測量結果的誤差相混淆。

　　3.偏差是指“一個值減去其參考值”(5.17條)。
　　以測量儀器的偏差為例，它是從零件加工的“尺寸偏差”的概念引伸過來的。尺寸偏差是加工所得的某一實際尺寸，與其要求的參考尺寸或標稱尺寸之差。相對于實際尺寸來說，由于加工過程中諸多因素的影響，它偏離了要求的或應有的參考尺寸，于是產生了尺寸偏差，即
　　尺寸偏差=實際尺寸-應有參考尺寸
　　對于量具也有類似情況。例如:用戶需要一個準確值為1kg的砝碼，并將此應有的值標示在砝碼上；工廠加工時由于諸多因素的影響，所得的實際值為1.002kg，此時的偏差為+0.002kg。顯然，如果按照標稱值1kg來使用，砝碼就有-0.002kg的示值誤差；而如果在標稱值上加一個修正值+0.002kg后再用，則這塊砝碼就顯得沒有誤差了。這里的示值誤差和修正值，都是相對于標稱值而言的。現在從另一個角度來看，這塊砝碼之所以具有-0.002kg的示值誤差，是因為加工發生偏差，偏大了0.002kg，從而使加工出來的實際值(1.002kg)偏離了標稱值(1kg)。為了描述這個差異，引入“偏差”這個概念就是很自然的事，即
　　偏差=實際值-標稱值=1.002kg-1.000kg=0.002kg
　　在此可見，定義中的偏差與修正值相等，或與誤差等值而反向。應強調指出的是:偏差相對于實際值而言，修正值與誤差則相對于標稱值而言，它們所指的對象不同。所以在分析時，首先要分清所研究的對象是什么。還要提及的是:上述尺寸偏差也稱實際偏差或簡稱偏差，而常見的概念還有“上偏差”(最大極限尺寸與應有參考尺寸之差)及“下偏差”(最小極限尺寸與應有參考尺寸之差)，它們統稱為“極限偏差”。由代表上、下偏差的兩條直線所確定的區域，即限制尺寸變動量的區域，通稱為尺寸公差帶。