主任：小王，忙什么呢？

小王：寫電能表標準裝置的不確定度分析報告。

主任：你可以參考以前老趙寫的。

小王：嗯，我正在看他寫的那個。他引入了這么多分量，溫度影響分量、年穩定性影響分量、電壓和電流誤差影響分量……看得我眼暈。

主任：其實我也經常被不確定度分量搞得頭昏腦漲。

小王：這些分量好像都是老趙憑空想出來的，看不出有什么依據。

主任：就物理常識來講，溫度、電壓、電流確實會對測量結果有影響。老趙想的也不能說有錯。

小王：那么這些分量的靈敏系數怎么確定呢？他好像默認靈敏系數只能是1了。

主任：靈敏系數？我很少注意到這個東西。那你說不是1還能是多少呢？

小王：是多少得根據數學模型確定。這么說吧，分析不確定度應該從測量的數學模型出發。模型中沒有出現的量就不應該在合成標準不確定度表達式中出現。老趙的數學模型里頭根本就沒有溫度、電壓、電流、年穩定性這些量，可合成不確定度表達式卻包含了這些量。所以我說老趙的合成不確定度不是由數學模型導出來的，是自己憑空編造的。認為靈敏系數是1更是沒有依據。

主任：老趙的數學模型是什么樣的？

小王：其實老趙的報告里并沒有明確寫出數學模型。他上來就指定了溫度、電壓、電流是影響量，然后開始分析它們的不確定度。

主任：那你也不能說老趙錯，也許他心里有數學模型只是沒明確寫出來。

小王：哈哈，這么說也可以。那就成了他有兩套數學模型，一套是用來給出測量結果的，簡單實用；另一套是專門用來分析不確定度的，花里胡哨。

主任：那么你認為老趙用來給出測量結果的模型是什么呢？

小王：測量的數學模型就是描述得到測量結果的過程的方程。等號左邊是測量結果，右邊是得到這個結果的過程。老趙怎么得到的測量結果，模型就怎么寫。

主任：那老趙是怎么得到測量結果的呢？

小王：從檢定裝置直接讀出相對誤差，讀2次，算出平均值作為測量結果。

主任：那么數學模型就應該是y=(x₁+x₂)/2了？

小王：可以這么說。

主任：那么x₁、x₂的不確定度是多少？

小王：x₁、x₂是服從相同分布的隨機變量，可以通過樣本估計它們的標準偏差，作為不確定度。

主任：樣本從哪里來？

小王：兩次測量結果可以作為樣本。由于測量次數只有兩次，應該用極差法估計標準偏差。

主任：那么合成標準不確定度就成了u (y)=[u²(x₁)/4+ u²(x₁)/4]^1/2。計算的結果是u (y)=[s²(x₁)/4+ s²(x₁)/4] ^1/2，或者說是u (y)=[s²(x₁)/2] ^1/2。

小王：是的，注意靈敏系數是1/2，不是1。

主任：你剛才說“可以這么說”，那么還可以怎么說？

小王：還可以說y=x’（’表示平均值）。因此u(y)=u(x’)用s(x’)表示u(x’)。樣本平均值的標準偏差估計s(x’)等于總體標準偏差估計s(x)除以樣本容量2的平方根，因此s²(x’) =s²(x)/2，跟剛才的結果一樣。只不過這回不確定度分量不再是單次測量結果而是測量結果的平均值了，靈敏系數也變為1了。

主任：你這不確定度分析看起來過于簡單了，不大可信。比如溫度對測量結果確實有影響啊？

小王：如果測量過程中溫度有變化，那么溫度影響將蘊含于x₁、x₂的分散性之中。如果測量過程中溫度沒有顯著變化，那么溫度影響將表現為x₁、x₂的均值整體偏移，也就是均值的變化。

主任：那么檢定裝置本身的誤差對不確定度的貢獻如何考慮？

小王：一樣，也已經包含在x₁、x₂的值里頭了。x₁、x₂就是裝置測出來的，難道還能不反映裝置的性質嗎？

主任：那么上級計量技術機構給咱們的裝置出具的證書上給出的不確定度又有什么用呢？

小王：那是他們的測量結果的一部分，表示他們認為真值在一個區間內。若論對于我們的測量結果的不確定度評定有什么用，我們不用當然就沒有用了。

主任：前一句話我明白，這后一句話把我搞糊涂了……

小王：好吧，我們理一下思路。合成不確定度應該嚴格依據不確定度傳播規律從數學模型導出來。我們的數學模型沒有包含上級計量技術機構出具的證書數據，所以這些數據對我們的不確定度評定不發生作用。主任：我明白你的意思了，不確定度只是根據不確定度傳播公式，由數學模型出發機械地推導出來的。數學模型完全決定合成不確定度表達式。不確定度評定，歸根結底是確定合理的數學模型。

小王：恩，總結的好。

主任：不確定度傳播規律是死的，但是模型是活的。改變模型就可以得到不同的合成不確定度表達式。那么我如果想要在合成不確定度表達式中增加反映出裝置本身誤差影響的項該怎么做呢？

小王：這個我得想想……不過我覺得我們犯不著為了得到某一個合成不確定度表達式而拼湊數學模型，這是本末倒置……

主任：我看未必，至少變換一下看問題的角度。

小王：OK！將數學模型改為y=(x₁+x₂)/2+z就可以了，z是裝置的相對誤差。

主任：是的，相當于加了修正值。這樣就成了u (y)=[s²(x₁)/2+ u²(z)] ^1/2，u(z)是證書上給出的。

小王：我看可以跟老趙說說，以后就用這個數學模型得了。

主任：呵呵，老趙怕不會答應，每個數據都得修正，太麻煩了。再說0.02級裝置檢1級表，根本用不著修正。

小王：嗯，要是我可能也不愿意，況且規程也允許不加修正。看來沒有絕對正確的模型，只有適合的模型。

主任：你說的沒錯。

小王：等等，又出現新問題了！加了修正值以后不確定度變大了，因為多了u²(z)項。我們檢低等級表不加修正值，檢高等級表才加修正值。也就是說檢低等級表不確定度小，而檢高等級表不確定度反而大。這怎么解釋？

主任：低等級的表s²(x₁)項通常要大一些，因此你不能斷定低等級表u²(y)一定小于高等級表。

小王：好，那么換一種問法，檢同一塊表，加修正值后不確定度反而大了。這怎么解釋？

主任：我想可以這樣理解，世上沒有免費的午餐！當你加了修正值，得到了更接近真值的測量結果時，這個結果的不確定性就會變大。這就是接近真值的代價。

小王：聽起來很詭異，以不確定度換誤差。

主任：其實“加修正值得到更接近真值的測量結果”這只是我們的一廂情愿。修正值如果加得不好有可能會導致既遠離真值又增加不確定度。所以我得修正剛才對“世上沒有免費的午餐”的闡述，改為“當加了修正值，引入了額外信息后，測量結果的不確定性就會變大。這就是得到一個接近真值的機會的代價”。

小王：有道理。您剛才說的“……修正值如果加得不好……”倒是提醒了我。修正值加得好不好這個問題從更宏觀的視角來看就是數學模型建得好不好。一個好的測量數學模型應該在正確性和精密性上都令人滿意。可是去哪里找一個好的數學模型呢？

主任：這就不勞你費心了！數學模型即測量方法，已經由校準依據規定了，例如檢定規程或校準規范。

小王：對！我現在感覺豁然開朗了。校準要依據規程規范這些技術文件。這些校準依據實際上規定了所用的測量方法，從而也就規定了數學模型。模型定下以后，合成不確定度表達式也就確定了。當然，在校準依據允許的范圍內數學模型可以有少許微調。

主任：是的。校準不是一般的測量，是必須按照規程規范進行的的測量。這樣才能保證測量結果的可控。

小王：那么上級計量技術機構給出的校準結果一定正確嗎？他們聲稱真值在某個區間內，一定是這樣嗎？或者這樣問，他們憑什么讓我們相信呢？

主任：這個問題我沒有想過，讓我想想……我覺得我們確實不能斷定他們的數據一定可靠，但是我們選擇相信他們。他們是以自己的聲譽擔保讓我們相信的。當然，很多制度法規也要我們相信他們，但我認為其背后也不外乎“聲譽”二字。