遼寧省盤錦市計量測試所  楊晨松

　　GUM中及JJF1059—1999中對函數數學模型都有較為具體的說明。而數學模型的建立，在測量不確定度的分析評定中占有首要位置。所謂數學模型就是用數學語言給出的物理量之間的關系。測量的數學模型就是指得到被測量Y所列的數學計算式。    

　　一、由于實驗測量手段、測量過程的差異，同一被測量其數學模型(函數形式)會有不同的表現形式

    例如:當我們選用了天平、砝碼和已知密度ρ₀的液體，測量一個球體的密度ρ。
    方法一:兩次稱重法。分別在空氣及液體中對球體進行稱重m=ρV；m′=ρ₀V(V——球體積、m——球體空氣中質量、m′———球體液體中質量)。合并以上兩式:
    方法二:測球體積法。利用流體靜力學阿基米德定理測得V，用天平測出質量m，得到被測量ρ=m/v
    在實踐中采取哪種函數型式能取得被測量的更小的不確定度，則依據所采用的測量方法和實驗條件而定。
    

　　二、在建立合理的數學模型后，就可以對各輸入量進行分析和合成了

    一種情況輸入量x₁、x₂、……、x_n與輸出量Y間的關系是:Y=a₁ x₁+a₂ x₂+……+a_n x_n，這種函數關系稱為線性函數，例如一維坐標上兩點間距S_AB=X₂-X₁；等臂天平上砝碼稱重W=g₁+g₂+……+g_w等都屬此類。其特點是輸入量各項指數均為正1，而各項系數可正可負。另一種情況，當函數關系式中輸入量相乘、相除或指數不為1時，稱為非線性函數。例如通過圓的直徑的測量得到圓的面積:S=π(D/2)²；在自由落體中，通過起始與終點的時間間隔測量得到下落距離等都屬此類。
    自由落體運動(不計空氣阻力)通過測始末時間間隔t，求下落距離S的最佳估值。這是一個非線性函數，求被測量的最佳估值。
    
    
    不難證明:
    
    或者說S≠S′
    在數學中我們知道第一種方法得到的S更為準確。也就是說對非線性函數而言，先分別求出輸出量的值再將輸出量的值取算術平均值的算法更具有優越性。
    以兩塊砝碼求和為例，設標準不確定度μ(m₁)=μ(m₂)=0.5g，m₁=m₂=500g，輸出量m=m₁+m₂=1000g的不確定度μ(m)=[μ²(m₁)+μ²(m₂)]^0.5=0.71g；相對標準不確定度μ_REL(m)=μ(m)/1000=0.7×10^-3。
    換一種方法求μ_REL(m)，因為μ_REL(m₁)=μ_REL(m₂)=1×10^-3，若直接采用方和根法，得μ′_REL(m)=[(m₁)+(m₂)]^0.5=1.4×10^-3。可見μ′_REL(m)比μ_REL(m)大了近一倍，由此得出結論在用輸入量的相對標準不確定度合成輸出量的相對標準不確定度時一定要慎重。除非輸入量與輸出量的相對標準不確定度有同一個分母(例如化學分析中的濃度不確定度)，并且他們表示的含義一致，否則不能用方和根法直接合成。我們再舉一例，說一下在實際工作中常犯的錯誤。
    例:用兩塊S級的電壓表V₁、V₂(量程分別為X₁，X₂)測量電路中串聯兩電阻R₁、R₂(R₁≠R₂)的電壓V_AC=V_AB+V_BC。求V_AC的相對標準不確定度。
    

    很多實驗者是這樣分析的:用兩塊表V₁、V₂測得電壓V_AB、V_BC的相對不確定度分別為:μ_REL(V_AB)=μ(V₁)/V_AB；μ_REL(V_BC)=μ(V₂)/V_BC。而μ(V₁)=(SX₁%)/ ；μ(V₂)=(SX₂%)/ ，則輸出量V_AC的相對標準不確定度μ_REL(V_AC)=((V_AB)+(V_BC))^0.5=[(X₁ /V_AB)²+(X₂ /V_BC)²]^0.5，這個結果是錯誤的。在指示性儀表中的引用誤差是不能直接用來合成相對標準不確定度的。正確的算法應是:先求出V₁、V₂的標準不確定度分量μ(V₁)=(SX₁%)/；μ(V₂)=(SX₂%)/，合成輸出量μ(V_AC)；最后求V_AC的相對標準不確定度:μ_REL(V_AC)=μ(V_AC)/(V_AB+V_BC)=/V_AC
    對數學模型進行不確定度分析時:(1)無論對線性函數還是非線性函數均應先求出每次測量單列輸入量所對應的各輸出量的值，再對各輸出量的值求算術平均值得到最佳估值，采用這種算法可靠性最高；(2)輸入分量的不確定度無論以怎樣的形式給出，最好化成標準不確定度一種形式來合成輸出量的標準不確定度，進而合成相對標準不確定度，這樣做可避免概念運用的失誤。