圖1  新莽銅嘉量

如果說栗氏量只有一段并不詳盡的文字記載，劉歆卻在它的基礎(chǔ)上經(jīng)過再創(chuàng)造，實(shí)實(shí)在在地制造出一件曠世佳作。新莽銅嘉量有十分詳盡的刻銘:斛量正面器壁上刻81字詔文(見圖2)，大意是:唐堯、虞舜的美德傳到莽，建立了新朝。統(tǒng)一了律度量衡，故昭告天下，萬世永遵，享傳億年。背面又在五個(gè)單獨(dú)量的外壁上加刻每一量器的直徑、深度及計(jì)算容積，總共二百四十多字。在文博學(xué)家們眼里，古代器物上的刻銘，字字千金。而新莽銅嘉量上，不但刻銘詳盡，而且包含著深邃的科技含量，其價(jià)值該有多大啊!那么我們就來看看新莽銅嘉量是如何既繼承古制，又有創(chuàng)新的。

①關(guān)于其形

栗氏量集升、豆、鬴三量于一器，并簡要說明了器的尺度、容積以及重一鈞。新莽銅嘉量則是集龠、合、升、斗、斛五量，每一量都有詳盡的尺寸及計(jì)算容積。《漢書·律歷志》另注明“重二鈞”。②關(guān)于“內(nèi)方尺而圜其外”與嘉量的“庣旁”栗氏量記:“內(nèi)方尺而圜其外，其實(shí)一鬴，”嘉量刻銘:“方尺而圜其外，庣(tiao)旁九厘五毫。……容十斗。”栗氏量與新莽銅嘉量皆采用先取一正方形，每邊長一尺，在正方形外作圓。但栗氏量所用的尺是多長，一鬴的容積是多少，都已無法知道了。而嘉量度量衡三個(gè)量的量值必須體現(xiàn)漢代的實(shí)際情況:一尺是23.1厘米，一斛之積是1620立方寸。要滿足一斛之積是1620立方寸，圓面積就必須是162平方寸，如果圓的大小是方一尺作外接圓，那么實(shí)際計(jì)算所得的圓面積就是157平方寸，比所要求的少了5平方寸。如何做到既要與栗氏量“方尺而圓其外”的提法相同，又能保證圓面積達(dá)到162平方寸呢？這一點(diǎn)確實(shí)是一個(gè)很大的難題。劉歆不但是一位古文經(jīng)學(xué)大師，而且還精通律歷學(xué)，對數(shù)學(xué)也有很深的造詣，他想，只要把圓徑加大五平方寸，圓面積不就加大了嗎。在他的苦苦尋求下，又經(jīng)過反復(fù)運(yùn)算，終于提出了一個(gè)最佳方案，即在正方形的對角線兩端各加上9厘5毫，就能與162平方寸相符了。劉歆還為這個(gè)“九厘五毫”專門取了一個(gè)特殊的名字“庣旁”。這個(gè)方法真是太巧妙了，這時(shí)劉歆才大大地松了一口氣，同時(shí)也為自己的創(chuàng)造感到非常滿意。③關(guān)于黃鐘律栗氏量又說:“聲中黃鐘之宮”，我們再來看看嘉量的刻銘是如何與它相對應(yīng)的吧？嘉量每一器分銘前都加有一個(gè)“律”字，如律嘉量斛、律嘉量斗等。律嘉量龠銘文說得更具體:“積八百一十分，容如黃鐘”。二者說法雖不完全相同，但其承傳關(guān)系卻十分清楚。關(guān)于“聲中黃鐘之宮”，當(dāng)然不是說敲擊栗氏量發(fā)出的聲音，與黃鐘律之宮音相合。劉歆根據(jù)他的理解，認(rèn)為應(yīng)該是“栗氏量尺”與黃鐘律管的長度有某種內(nèi)在的聯(lián)系。最后提出了以黃鐘律管、累黍定度量衡的理論。這一理論的提出，在中國度量衡史上影響極大，以致其后為此研究、討論了1000多年。關(guān)于黃鐘、累黍定度量衡，已有許多文章做過論述，這里不再展開。古代的量器，很難達(dá)到較高的精確度，故有“以度數(shù)審其容”之說。新莽嘉量就是一件以尺度來計(jì)算容積的高科技產(chǎn)品。嘉量銘文:“冥(冪)百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。”嘉量各器都是圓筒形，要計(jì)算它們的容積，就要牽涉圓周率的問題。劉歆用的是什么圓周率呢？可惜銘文沒有提到，他使用的圓周率及求圓周率的方法，就成了千古之謎。在其后二百多年的三國魏時(shí)，數(shù)學(xué)家劉徽最早對新莽銅嘉量刻銘中的計(jì)算容積作了研究。他認(rèn)為劉歆在設(shè)計(jì)嘉量時(shí)，對庣旁的設(shè)置已精確到了厘毫，在計(jì)算容積時(shí)，是不會使用《周髀算經(jīng)》里說的“徑一周三”這樣粗略圓周率的。但是他究竟用的是什么圓周率呢？劉徽為了對新莽銅嘉量作考校，經(jīng)過反復(fù)研究，終于發(fā)明了用割圓術(shù)來求圓周率，再經(jīng)過無數(shù)次運(yùn)算，得到圓周率是3.14，為此他成為中國運(yùn)用正確方法求圓周率的首創(chuàng)者。緊接著又以他求得的圓周率去核算嘉量的圓面積，得到的數(shù)值為“冪一百六十一寸有奇”，即不到162寸。可惜他沒有再作更進(jìn)一步的探討。在劉徽之后的200多年，即南北朝時(shí)期。有一天，數(shù)學(xué)家祖沖之在皇宮中見到這件新莽銅嘉量，他十分興奮，大為驚嘆道，銘文刻得如此詳盡，真是了不起。祖沖之畢竟是一位數(shù)學(xué)家，立刻想到這件嘉量計(jì)算精確的程度如何?自己為何不按照器壁上刻的銘文親自驗(yàn)算一下呢。要計(jì)算斛的容積，第一步先算出它的直徑，即一尺正方形對角線長為寸，庣旁九厘五毫(0.095寸)，圓面積的直徑為14.1421356+2×0.095=14.3321356寸，銅斛的半徑是7.166寸，圓面積即銘文中所說162平方寸，祖沖之模擬了一下劉歆的計(jì)算過程，推算出劉歆所用的圓周率是162方寸÷(7.166寸)²=3.1547。祖沖之推算出劉歆的圓周率后，十分贊賞，因?yàn)樵趧㈧幍奈鳚h末年，最著名的數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》里說的是“徑一周三”。就是說，圓周是直徑的三倍，如果直徑是一尺，圓周率就是三尺。圓周率是3，而劉歆所用的圓周率卻是3.1547，比起“徑一周三”的算法進(jìn)步很多。這提起了祖沖之更大的興趣。祖沖之知道，劉徽在劉歆之后已采用了割圓術(shù)計(jì)算出圓周率是3.14。劉徽這種方法是有正確的理論作指導(dǎo)的，對這一點(diǎn)祖沖之深信不疑，同時(shí)也是心悅誠服的。但是，劉徽只取了小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)，把后面幾位數(shù)舍棄了。祖沖之覺得，如果不算出更精確的圓周率，也就沒有辦法更進(jìn)一步精確地校核嘉量的計(jì)算容積。于是決心按照這一方法繼續(xù)計(jì)算下去。為此祖沖之把自己的小書房重新翻修，把地板刨得十分光滑。祖沖之的兒子祖暅(gèng)看到后，不解地問道:“您這是要做什么呀?”祖沖之回答說:“我想計(jì)算出比劉徽更精確的圓周率。”祖暅在父親的影響下，也對數(shù)學(xué)很感興趣，十分高興地說:“我來做您的幫手吧。”祖沖之高興地點(diǎn)頭答應(yīng)了。祖沖之和兒子一起，在書房的地上畫了一個(gè)直徑為一丈的大圓，開始了艱苦的計(jì)算。劉徽算到96邊形就停止了，而祖沖之則算到12288邊形才停下來。為此祖沖之父子幾乎是廢寢忘食、夜以繼日，無數(shù)次耗盡燈油。終于得出比劉徽更精確的圓周率，即:如果直徑是1，圓周大于3.1415926，小于3.1415927。這個(gè)結(jié)論，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示:3.1415926<π<3.1415927。祖沖之當(dāng)時(shí)也并不知道，他已成為全世界最早把圓周率精確地計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位數(shù)的第一人。祖沖之求得了這個(gè)精確的圓周率后，再去校驗(yàn)嘉量上的刻銘，終于發(fā)現(xiàn)劉歆的計(jì)算還是不夠精確，他指出:嘉量圓面積設(shè)計(jì)162平方寸，按圓周率是3.1415926計(jì)算，半徑是7.180965寸，直徑是14.36193寸有余，這樣，庣旁就不是銘文所說的九厘五毫，而正確的庣旁應(yīng)該是一分九毫有余，劉歆庣旁比理論值少了一厘四毫有余。他再用這個(gè)數(shù)字和自己求得的圓周率去計(jì)算嘉量的容積，果然得到1620立方寸。劉歆設(shè)計(jì)制造了這樣一件量器，甚至影響到數(shù)學(xué)上重大成果的取得，這是連他自己也不會想到的。歷代對新莽銅嘉量都給予了極大的關(guān)注，唐宋時(shí)盡管仍不斷有學(xué)者對它做過討論、研究，但都懷疑實(shí)物是否還存在？元、明兩代四百年間，也未見有新莽銅嘉量的下落。到了清朝乾隆初年，新莽銅嘉量被發(fā)現(xiàn)藏于內(nèi)府，乾隆皇帝對它給予了極大的關(guān)注，并參照新莽銅嘉量設(shè)計(jì)制造了三圓一方乾隆嘉量，把方、圓兩件分別陳設(shè)在乾清宮和太和殿前亭屋內(nèi)，以象征清廷的法度與至高無上的權(quán)力。1924年，紫禁城被改造籌建為故宮博物院，在清點(diǎn)文物時(shí)發(fā)現(xiàn)了這件珍品，再次引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注，隨后馬衡、王國維、劉復(fù)等相繼對它作了研究、考證，對這件曠世瑰寶在歷史、科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)、度量衡等方面所起的作用給予了高度評價(jià)。劉復(fù)受當(dāng)時(shí)任博物院院長馬衡先生的重托，對嘉量作了十分精細(xì)的測量，并寫了《新嘉量之校測與推算》一文，詳細(xì)記述了測量方法及推算經(jīng)過，最后求得新莽時(shí)一尺長23.1厘米、一升容200毫升、一斤重226.7克。新莽銅嘉量在其后的兩千年，不斷引起后世如此多的關(guān)注，在世界度量衡史上也是絕無僅有的。如今，這件國之瑰寶仍保存良好，珍藏于臺灣故宮博物院。