測量不確定度理解與應用(二)
極差法和貝塞爾法之間的比較

　　 標準不確定度的A類評定定義為:“用對觀測列進行統計分析的方法，來評定標準不確定度”。國家計量技術規范JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》中介紹了兩種A類評定的方法，貝塞爾法和極差法。
    1.貝塞爾法
    當在重復性或復現性條件下，對被測量X進行n次獨立觀測。若得到的測量結果分別為x₁，x₂，……，x_n，n次測量的平均值為。于是用貝塞爾公式可以求出單次測量結果x_i的實驗方差s²(x_i)和實驗標準差s(x_i)。
    
    2.極差法
    當在重復性或復現性條件下，對被測量X進行n次獨立觀測。若n個測量結果中最大值和最小值之差為R(稱為極差)，在可以估計X接近正態分布的條件下，單次測量結果的實驗標準差s(x_iv)可近似地表示為:
    s(x_i)=R/C=u(x_i)
    式中系數C為極差系數。極差系數之值與測量次數n的大小有關。表1給出極差法的極差系數和自由度與測量次數的關系。
    

    既然隨機變量X的標準偏差可以用兩種方法得到，就不可避免地會提出兩種方法孰優孰劣的問題。無疑，極差法具有計算簡單的優點。但在計算機應用已經十分普及的今天，用貝塞爾公式計算也已變得相當容易。因此關鍵問題還在于用何種方法估算得到的不確定度更為準確。
    表面上看來，用貝塞爾公式進行計算時使用了全部n個測量結果，而極差法只用了一個極大值和一個極小值，其余數據均棄之不用，因此用貝塞爾法得到的實驗標準差應該比極差法更為可靠。比較兩種方法的自由度也可以看出，極差法的自由度比貝塞爾法小(貝塞爾法的自由度為n-1，而極差法的自由度<n-1)。于是可以得到同樣的結論，貝塞爾法比極差法更為可靠。
    但實際上問題并沒有這么簡單。根據定義，用標準偏差表示的不確定度稱為標準不確定度。因此從理論上說，應該計算的是標準偏差σ，而不是實驗標準差s。但標準偏差是一個總體參數，也就是說，要進行無限多次測量才能得到。在實際工作中只能用樣本參數來代替總體參數，即用實驗標準差s來作為標準偏差σ的估計量。理論上可以證明，實驗標準差s并不是標準偏差σ的無偏估計量。這就是說，當用實驗標準差s來代替標準偏差σ時，除了實驗標準差s本身是一個隨機變量外，它的數學期望值(即無限多次測量結果的平均值)相對于標準偏差σ還有一個與測量次數有關的系統性偏差。測量次數越少，其系統性偏差就越大。因此可以對貝塞爾公式作一無偏差的修正。經過無偏差修正后的貝塞爾公式為:
    
    上式中修正因子M_n的數值見表2。由表2可知，當測量次數n≤6時，隨著測量次數減少，偏離系數M_n將明顯加速偏離1。
    

    也可以分別計算出用貝塞爾公式和極差法得到的實驗標準差的相對標準不確定度，其計算結果見表3。由表3可以看出，當測量次數n=10時，兩種方法得到的實驗標準差準確程度幾乎相同。當n>10時，貝塞爾法優于極差法；當n<10時，極差法優于貝塞爾法。至于修正的貝塞爾公式，相比而言雖然最為準確，但因比較麻煩實際上很少使用。這就是為什么國家計量技術規范JJF1059-1999中在給出極差系數及自由度表后指出“一般在測量次數較小時采用該法”，以及國家計量技術法規統一宣貫教材《測量不確定度評定與表示指南》中同時還指出“測量次數以4～9次為宜”。
    

    上面的分析，僅是針對實驗標準差而言的。在大部分的測量不確定度評定中，測量不確定度A類評定僅是其中的一個或幾個分量。他們還將與其他B類評定的分量合成，才能得到合成標準不確定度。合成的方法是方差相加。雖然實驗標準差s并不是標準偏差的無偏估計量，但卻可以證明實驗方差s²是總體方差σ²的無偏估計量。因此，若A類評定需要和其他B類分量合成，且A類評定分量不占優勢時，則無論測量次數的多少，貝塞爾法將優于極差法。
    因此筆者認為結論應該是:
    (1)當A類評定不確定度分量不是合成標準不確定度中惟一占優勢的分量時，則無論測量次數多少，貝塞爾法優于極差法。
    (2)當A類評定不確定度分量是合成標準不確定度中惟一占優勢的分量時，則兩種方法的優劣與測量次數有關。當測量次數n<10時，極差法優于貝塞爾法；當測量次數n≥10時，貝塞爾法優于極差法。