計量培訓：測量不確定度表述講座
湖北財經學院　李興仁

　　4.1  什么叫統計方法？
　　測量不確定度的A類評定方法定義為統計方法。所謂統計，一般來說，是指根據從總體中隨機取出的樣本中所獲得的信息來推斷關于總體性質的方法。
　　一個被測量的某種條件(重復性條件或復現性條件)下的任一個測量結果，可視為無限多次測量結果(總體)的一個樣本。通過有限次數的測量結果(有限的隨機樣本)所獲得的信息(例如:平均值大小、實驗標準偏差s(y))，來推斷總體的平均值(稱之為總體均值μ或稱為該分布的期望值)以及總體標準差σ，就是一種統計方法。

　　4.2  什么是期望、期望值與最佳估計？
　　在不確定度評定中，無限多次的重復性條件下或復現性條件下的測量結果的平均值以及非等精度條件下的加權平均值，均為期望值或簡稱期望。它也是總體的均值μ，只是理論上存在。
　　有限次數的測量結果都只是被測量的一個估計。當重復了若干次測量，得到若干個測量結果時，只有它們的平均值才是最佳估計，如果存在修正值，則只能是修正后的結果才是最佳估計。
　　任何一個估計及最佳估計值均具有不為零的不確定度，而期望值的不確定度恒等于零。

　　4.3  什么是概率？概率分布與主觀概率、先驗概率？
　　某種事件A出現的可能性大小的定量描述。例如，一個被測量Y在一個重復性條件下的測量結果y₁中，所包含的隨機誤差分量是正值還是負值，其可能性一樣大，我們說，正與負的概率各為50%。如果兩次測量結果y₁與y₂中所出現的隨機誤差分量的符號相同(均為正值或均為負值)，與符號不相同(一正一負)的概率也各為50%。三個重復測量結果y₁、y₂與y₃中隨機誤差分量的符號相同，其概率就只有25%。
　　大大小小地合理賦予被測量Y之值y_i，在其分散區間內等間隔地分成若干(例如15個)小的區間，則y_i分別落在這些小區間中的數目多少，表明了落在這個區間的概率大小，這樣，如以縱坐標表示概率，則形成了一個概率分布曲線。下圖就是一個近似正態的分布曲線，Δδ_i為每個小間隔。
    

　　曲線表明了被測量可能值在多大時出現的概率有多大，同時，也可通過曲線估計出95%或99%的概率出現在哪個區間，即所謂置信區間(參閱3.7)。如要確定概率分布曲線，往往需要有100～200次的重復測量結果。所謂先驗概率又稱主觀概率，則是根據觀測者的實踐經驗，對某種事件出現的概率所作出的估計。
　　常見的用于不確定度評定的、較為規律的概率分布曲線有:矩形分布(又稱均勻分布)、三角分布、梯形分布、兩點分布等。其中以正態分布最為常見。例如:三個以上觀測值的平均值作為被測量的結果時，這種測量結果的分布即為正態分布。

　　4.4  異常值指什么？
　　由于測量條件或測量設備的某種偶然性變化，導致測量已不處于統計控制狀態；或者由于觀測、計算、記錄中的失誤，導致某測量結果明顯偏離其所屬樣本的其余觀測值，這樣的值稱為異常值，過去，我們說結果中含有粗大誤差。在不確定度評定中，這樣的值是不應進入計算而應剔除的。但必須持慎重態度，必須按有關規則進行。特別是當觀測結果較少(例如4次)的情況下，憑4個觀測值來判定其中某一次是異常值往往會作出錯誤結論。一般應再多重復若干次，有了例如7～8次以上的值后，再判斷哪一次的結果是否為異常值。國家標準GB4883—1985《正態樣本異常值的判斷和處理》可作為依據。

　　4.5  什么叫數學模型？
　　用數學語言給出的物理量之間或數值之間的關系式。測量的數學模型指得到被測量Y的數學計算式。因此，同一個被測量按所選擇的測量方法不同而有不同的數學模型。例如要測量一個球體的密度ρ，當我們選用天平、砝碼以及已知密度ρ₀的液體，用兩次稱重(空氣中的稱重與浸入液體中的稱重)的方法得出時，
　　ρ=m/(m-m′)·ρ₀
　　式中m為在空氣中稱出的質量，m′為在浸入液體中稱出的質量。但是，當我們采用測量球體體積V的方法時，就有了另外的數學模式:
　　ρ=m/V
　　如果考慮了某種修正的計算，相應地，數學模型會有一定程度的復雜化。
　　在不確定度評定中，我們一般把被測的量稱為輸出量。上例中的ρ就是。把與ρ有函數關系的、通常是直接用實驗測出的量，稱為輸入量，上例中的m、m′、ρ₀以及V都是。這些輸入量也可能是由若干個量得出的，例如m可能是若干個砝碼之和，V是通過直徑測量并經過計算得出的，甚至測V時還有溫度的修正等。
　　數值關系式也可用于被測量的模型，必須注意是給定單位下的數值，其中包括經驗公式。
　　數學模型的一般表達式為:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_N)
　　式中Y為被測量(輸出量)，X_i是輸入量，小寫字母為它們的估計值有:
　　y=f(x₁，x₂，…，x_N)
　　最簡單的模型如:Y=X。例如X是體溫計上的示值，而Y是體溫。如由兩個砝碼X₁與X₂在天平上平衡得出被測質量，則數學模型是:Y=X₁+X₂。如通過滴定管測出所消耗的溶液體積V，則滴定管上的兩次讀數(滴定的開始與終了)X₁與X₂同V之間的關系就是:V=X₁-X₂。如果用一個標準量塊的中心長度l_s與被檢量塊中心長度l相比較的方法，用它們之間的差d來得出l時，數學模型只是l=l_s+d；但如果考慮兩量塊間的溫度差δθ、溫度θ以及線膨脹系數差δα、線膨脹系數α的修正時，就成了:
　　l=l_s+d-l_s[δα·θ+α·δθ]。
　　必須注意，數學模型中不能進入帶有正負號(±)的項。

　　4.6  線性函數與非線性函數關系在計算被測量Y的估計值時有何不同？
　　當輸入量X₁，X₂，…，X_N與輸出量Y之間的函數關系是:
　　Y=a₁X₁+a₂X₂+…+a_NX_N
時，這種函數稱為線性函數。例如通過兩個時間的測量得到一個時間間隔，通過在等臂天平上的若干個砝碼得出被測的質量等都屬這一類，其特點是輸入量的各項指數均為正1或負1。上式中的各項系數a_i既可以是正值也可以是負值。當函數關系式中輸入量相乘或除或指數不是1時，稱為非線性函數關系。例如通過球體直徑的測量得到球的體積，在恒定加速度下通過時間間隔的測量得到物體所行經的距離等屬于這一類。
　　例如我們對兩個砝碼的質量m₁與m₂在重復性條件下各測了10次，輸出量(我們所要求的被測量)是m=m₁+m₂。我們可以得到的10個m₁與m₂，分別相加而得出10個m，取這10個值的算術平均值作為m的最佳估計。我們也可用另一種方法，把10個m₁與m₂的值先計算其算術平均值，然后把這兩個算術平均相加作為m的最佳估計。在m=這樣的線性函數時，結果相同。
　　但是，如果是通過球體的直徑d的測量，求體積V，例如對d測量了10次，我們可以用每一個d的結果算出10個V取其算術平均值。第二種計算方法是把10次的d先取其算術平均值作為d的最佳估計求出體積V，由于d對V來說是非線性函數，以第一種計算方法較為優越。

　　4.7  產生不確定度的原因一般主要有哪些？
　　一般來說，最主要的有以下幾個方面:
　　a.檢測手段的不理想:包括所用的測量儀器計量性能、標準器的不確定度、測量方法和測量程序帶來的不確定度、測量模型不夠完整。
　　b.被測量本身帶來的:包括被測量不穩定、取樣代表性不夠、被測樣品測量前的制備不理想。
　　c.影響量的修正:對影響量測量不可靠、修正所用物理常數不可靠、影響量不穩定。
　　d.由于觀測人員帶來的:數據的估讀、屬于測量過程的調整、數據處理過程中的修約。

　　4.8  怎樣的不確定度分量可以忽略？
　　原則上說，其量值的大小對合成不確定度的影響不大者均可忽略。例如只有兩個不確定度的分量合成，其中的一個只是另一個的三分之一。由于合成是取平方和開方:=1.044≈1，因此，如果略去了這個較小者，最后的結果小了將近5%。應認為可以忽略。如果有4個分量，其中3個平均只約為最大的那個的三分之一，此時合成為，略去后則減小了13%，似也不算太大。如果有另外一個分量較大，例如是最大者的二分之一，那么去掉了3個較小的(只有最大的三分之一)也是可以的。因此，往往忽略那些量值較小的分量不去估算和合成，例如修正值的不確定度較小時、修正值本身較小也不加到測量結果中時、有時測量儀器的分辨力導致的不確定度等。

　　4.9  什么是核查標準？
　　核查標準也是一種標準器，例如:砝碼、量塊、電阻、電池等。當我們需要經常校準某種標準器時，為了檢查整個校準過程是否處于正常狀態，往往建立一個或一組核查標準，要求其性能較為穩定，用于周期性(例如每兩月一次)或必要時(例如產生了懷疑)進行核查。例如在經常校準4等量塊的實驗室，保存一組(大小不同的幾個)4等量塊，每三月按常規進行一次校準，得出其長度之值以及校準過程中的分散性(實驗標準偏差s)，用于核驗校準是否出現超出規定的系統性的和隨機性的誤差，用以決定校準是否處于統計控制狀態之中，可否繼續進行正常工作。

　　4.10  什么是控制圖？
　　一種標繪著根據從總體中相繼抽取的樣本計算出的某種統計量的值，并畫有控制界限的圖，用于監查一個過程是否處于控制狀態之下。根據控制圖中所用的統計量(如算術平均值、極差、實驗標準偏差、不合格率等)的不同，來確定控制圖的不同類型。不確定度評定中用的控制圖用于校準過程控制，通過核查標準的定期和不定期校準，將校準結果紀錄在圖中，每次的校準結果作為一組抽樣，給出平均值與標準偏差兩個曲線的控制圖。一般把容許標準偏差的兩倍作為警戒極限。

　　4.11  用統計方法得到的實驗標準差是否是測量結果的隨機誤差？
　　不是，標準差是分散性的，隨機誤差的定義見3.8，本質完全不同。分散性來源于測量過程中的隨機效應，它并非某個測量結果的隨機誤差。