計量培訓：測量不確定度表述講座
國家質量技術監督局  李慎安

　　5.1  A類評定的基本方法是什么？
　　用統計方法(參閱4.1)評定標準不確定度稱為不確定度的A類評定，所得出的不確定度稱為A類標準不確定度，簡稱A類不確定度。當它作為一個分量時，無例外地只用標準偏差表征。
　　標準不確定度A類評定的基本方法是采用貝塞爾公式計算標準差s的方法。
　　一個被測量Q(既可以是輸入量中的一個，也可以是輸出量或被測量)在重復性條件下或復現性條件下重復測量了n次，得到n個觀測結果q₁，q₂，…，q_n，那么，Q的最佳估計即是這n個觀測值的算術平均值:
　　 由于n只是有限的次數，故又稱為樣本平均值，它只是無限多次(總體)平均值的一個估計。n越大，這個估計越可靠。
　　每次的測量結果q_i減稱為殘差v_i，v_i=(q_i-)，因此有n個殘差。
　　殘差的平方和除以n-1就是實驗方差s²(q_i)，即一次測量結果的實驗方差，其正平方根即為實驗標準差s(q_i)，當用它來表述一次測量結果的不確定度u(q_i)時，有s(q)=u(q_i)，或簡寫成s=u。
　　請注意，今后不再把s作為A類不確定度的符號，把u作為B類不確定度的符號，而是不分哪一類，標準不確定度均用u表示。
　　上述的計算程序就是3.1給出的程序。
　　平均值的標準偏差s()或其標準不確定度u()為:
　　 必須注意上式中的n指所用的次數。在實際工作中，為了得到一個較為可靠的實驗標準偏差s(q_i)，往往作較多次的重復測量(n較大，自由度ν也較大)；但在給出被測量Q_i測量結果q時，只用了較少的重復觀測次數(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的標準偏差就是s(q_i)/4=0.5×s(q_i)
　　但是，如果用于評定s(q_i)時的n個觀測值，直接用于評定s()(n個的平均)，則成為下式:
    

　　5.2  除基本方法外還有哪些簡化的方法？用于何種場合？
　　在JJF1059中提出了另外的一種簡化方法，稱之為極差法，極差R定義為一個測量列中，最大的測量結果減最小測量結果所得之差。所謂測量列，是指重復性條件下或復現性條件下的若干測量結果這一整體。
　　使用極差法評定s(q_i)的前提是q_i的分布應是正態的。對于大多數測量儀器來說，單次測量的示值，其分布往往偏離正態甚遠，例如軸尖支承式儀器的示值介于正態與均勻分布之間，數字電壓表的示值分布一般呈雙峰狀態等。但是所有q_i如果已是3或4個示值之平均值，則可以認為其分布是正態的了。
　　在得到了極差R之后，根據這個測量列中包含的q_i的多少(即測量次數n)，除以一個相應的系數C就可得出單個q_i的實驗標準偏差s(q_i)了，即s(q_i)=R/C=u(q_i)。
　　當n=4時，C=2.06≈2；
　　當n=9時，C=2.97≈3；
　　當n=15時，C=3.47≈3.5。
　　必須注意，上述三種情況下的自由度ν分別只為2.7，6.8與10.5，比用貝塞爾公式所計算出來的結果自由度小，因此，可靠性也較差，一般在n較小時使用較好。

　　5.3  什么叫合并樣本標準差s_p？一般有哪幾種求s_p的方法？
　　合并樣本標準差s_p這一符號的下標正體小寫p，來源于英文pooled一詞，表示并非來自一個被測量的實驗結果，但s_p所給出的則仍為這一條件下單次測量結果的標準偏差。s_p是根據多個被測量在重復性條件或復現性條件下重復觀測所得測量結果，按統計方法計算出的一次測量結果的分散性標準偏差，一般只用于常規的規范化的測量之中。例如:按檢定規程進行的校準工作，車間中的在線抽檢，某種產品中成分的抽樣化驗等。采用s_p的前提是:檢測方法不變；整個過程處于正常情況，被測量值的大小變化對分散性不起主要作用。由于s_p的自由度一般可以比較容易地達到20以上，認為是相當可靠的，一般把它保留下來作為一種技術檔案而用于今后的相同條件下測量結果(往往只重復二、三次，甚至不重復)不確定度的評定。
　　例如某種測量一般進行4次觀測，取算術平均值作為測量結果報出。這種規范化的測量如對10個被測量進行過了，則可以通過這10次的記錄，每一次可算出4個殘差v_i，一共可算出40個殘差v_i。所有這些殘差的平方和除以10×(4-1)=30后開方，就是s_p，其計算式表示為:
    

　　式中的m是所用的被測量個數，上例中為10，式中的n是每個被測量的次數，上例為4。按上例，這樣得出的s_p的自由度υ=m(n-1)=30，也就是測量次數減被測量的個數。
　　如果這10個被測量每次測量的次數并非都是4次，而是各不盡相同，則可以分別計算每一次的實驗標準偏差(按貝塞爾公式)s_i，通過這10個不同的s_i及其相應不同的自由度ν_i(按n-1)由下式得出s_p，即
    

　　這時得到的s_p的自由度按測量次數減被測量個數即∑ν_i。
　　此外，還可以通過一個被測量的兩次測量結果之差Δ來求一次測量結果分散性標準差。例如:10個被測量，每個均測了兩次，得到10個差值Δ_i，按貝塞爾公式計算差值Δ_i的標準偏差s(Δ_i)為:
    

　　式中:按本例n=10，為10個差值的算術平均值，s(Δ_i)的自由度為n-1，本例則為9。由于單次測量結果的標準差s(x_i)與s(Δ_i)之間有:
　　因此，用這一方法得出的s(Δ_i)還要除以就是s_p，即單次測量結果x_i的合并樣本標準差。采用這種方法時，應有較多的被測量，以使其自由度足夠大，一般應有20個以上。由于每個被測量只進行兩次測量，實用中不少情況下是方便的，特別是被測量本身不很穩定的情況下，這一方法有其獨特的優點。

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　　5.4  不等精度加權平均值的實驗標準差如何計算？
　　不管是重復性條件還是復現性條件下，只要是處于統計控制狀態下，均可按貝塞爾公式計算單次測量結果或平均值的標準偏差，這種情況下，我們把這些進入貝塞爾公式的結果認為是等精度的，但如果對同一被測量的若干個測量結果的不確定度各不相等，就是非等精度的測量結果，通過這些結果求出該被測量的最佳估計時，應按加權平均的辦法處理，其不確定度的計算也要考慮各個結果的權，權是表示各個測量結果可靠程度的一個比值。我們過去說權與誤差的平方成反比，實際上是與不確定度的平方成反比，或說與方差成反比。由于不確定度有幾種不同表達形式(u，ku，k_pu)(參見3.4與3.5)，在權的計算中，應使各個結果的不確定度換算成用同一種不確定度給出。
　　例如:對一個被測量有以下三個測量結果:
　　y₁=(1000.045±0.010)mm，k=2
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.020)mm，p=95
　　以上三個結果±號后都是不確定度，但包含因子k不同，第三個則是用擴展不確定度U₉₅給出的，在進行加權平均時，應把他們換算成同一種，通常是都算成k=1的標準差，成為:
　　y₁=(1000.045±0.005)mm，k=1
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.010)mm，k=1
　　設這三個結果的權分別為p₁，p₂與p₃，當設其中不確定度最大者p₂為1時，應有共同分子(20μm)²，得
    

　　加權平均值按
　　y=∑q_iy_i/∑q_i
　　計算，得
　　

　　y的標準偏差按
    

　　上式中的v_i，也是殘差，等于y_i-y，m則為y_i的個數，本例中m=3。
　　s(y)=6.5μm
　　有些書上把稱為單位權的標準偏差，以簡化計算。

　　5.5  直線擬合中表征曲線擬合參數的標準不確定度如何評定？
　　直線擬合為最常用也最簡單的一種，它給出兩個變量x、y間的線性關系。通過測量出一組數據(x_i，y_i)，i=1，2，…，N，得到的一條直線y=mx+b應該是所有這些點(x_i，y_i)與這條直線垂直距離之差的平方和為最小，所謂最小二乘即此意。式中m是直線斜率(也稱回歸系數)，b是直線在y軸上的截距，m由下式可算出:
    　　

　　例如:求測出的點(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)這7個點，N=7的計算列表如下:
    

　　斜率
　　y軸截距b=4.71-0.858×5=0.426
　　由此給出的回歸方程為:
　　y=0.858x+0.426
　　以上所得出的m及b的標準偏差s(m)及s(b)的計算如下。
　　先出y_i的標準偏差s(y)，按貝塞爾公式
    

　　式中y_i是按測量給出的，而y則是得到的式子給出的。上式的2是由于這里有兩個被測量。然后按下式分別評定m及b的標準偏差為:
    

　　列出計算表:
    

　　 得:
    

　　自由度均為ν=N-2=5。

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　　5.6  A類評定方法有什么主要特點？
　　a.比B類方法更為客觀；
　　b.較具有統計學的嚴格性；
　　c.要求給定條件下的多次重復觀測；
　　d.所得到的標準偏差，其可靠程度與重復觀測次數有關；
　　e.計算較為復雜。

　　5.7  在采用A類方法評定時應注意哪些問題？
　　a.盡可能在重復測量中的各次觀測值相互獨立，例如:重新抽樣、重新配制標準溶液、重新調整測量儀器的零位；
　　b.所有假定為隨機性的效應是否在整個實驗中確是隨機的，他們的分布均值以及方差是否不變，是否存在未知的漂移；
　　c.重復性條件或復現性條件應充分保證；
　　d.影響量不應超出允許范圍；
　　e.當某種測量只進行了一次，并未在重復性條件下或復現性條件下多次觀測時，未必不存在A類評定方法。例如，采用合并樣本標準偏差s_p。

　　5.8  是否有可能在測量不確定度評定中，就只有一個A類不確定度？
　　當只有一個A類不確定度分量起主要作用，其他的不確定度分量之值甚小而可忽略不計的情況下，在評定測量不確定度時就只有這一個A類分量。例如在樣品元素分析中，對樣品的消化所帶來的不確定度遠遠大于分析儀器的不確定度及其他分量。又如對樣品熱導率的測量中，重復條件下的分散性標準差遠遠大于所用測量儀器的不確定度分量等。

　　5.9  A類評定方法的舉例
　　設重復性條件下，測量某一電流的8次獨立重復觀測值I_i為:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值為127 mA，按貝塞爾公式，單次觀測值的標準不確定度:
　　s(I_i)=11.9 mA=12 mA
　　平均值的標準偏差s():
　　
　　自由度ν=n-1=8-1=7

　　5.10  協方差的A類評定中應注意什么？
　　例如用同一個50kg的標準砝碼對兩個50kg的工作用砝碼進行校準，則在兩個校準結果中既包含有校準過程中隨機效應導致的不確定度分量，也包含了所用同一標準砝碼證書上給出的實際值的不確定度這一系統效應導致的不確定度分量。后者的存在導致兩個50kg砝碼的校準結果相關。這兩種分量的相對大小，決定了相關的強弱。如果上述第一種分量遠小于第二種，則它們是強相關，否則為弱相關。相關程度的定量指標為相關系數r，借助于有限次數(n次)的重復測量，通過協方差s()進行A類評定的計算式如下:
　　
　　式中:q_k是第一個被檢砝碼的第k個結果，r_k是第二個被檢砝碼的第k個結果。是第一個砝碼n個結果的算術平均值，則是第二個砝碼的平均值。當然，q_k-以及r_k-就是它們各自的n個殘差。必須注意的是，應由n個50kg標準砝碼來對這兩個50kg砝碼校準而分別得出n對測量結果:q₁，r₁；q₂，r₂；…；q_n，r_n。而決不是用一個50kg標準砝碼對這兩個砝校重復校準n次。
　　當得出s()后，可按下式
    

　　計算被校準的兩個50kg的測量結果間的相關系數r。式中:s(q_k)與s(r_k)為按貝塞爾公式所計算的一次測量的實驗標準偏差。很明顯，本例中s(q_k)=s(r_k)。當s()s(q_k)時，r≈1即強相關，而當即不相關。
　　可以看出，這種評定方法雖然客觀，但需要較多的標準器、實驗過程與計算也較復雜，只有在特殊情況下(例如制定檢定規程)時才采用。