計量培訓：測量不確定度表述講座
國家質量技術監督局  李慎安

　　7.1  合成標準不確定u_c的定義如何理解？
　　合成標準不確定度無例外地用標準偏差給出，其符號u以小寫正體c作為下角標；如給出的為相對標準不確定度，則應另加正體小寫下角標rel，成為u_crel。按《JJF1001》定義為:當測量結果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差和協方差算得的標準不確定度。如各量彼此獨立，則協方差為零；如不為零(相關情況下)，則必須加進去。
　　上述定義可以理解為:當測量結果的標準不確定度由若干標準不確定度分量構成時，按方和根(必要時加協方差)得到的標準不確定度。有時它可以指某一臺測量儀器，也可以指一套測量系統或測量設備所復現的量值。在某個量的不確定度只以一個分量為主，其他分量可忽略不計的情況下，顯然就無所謂合成標準不確定度了。

　　7.2  什么是輸入量、輸出量？
　　在間接測量中，被測量Y不能直接測量，而是通過若干個別的可以直接測量的量或是可以通過資料查出其值的量，按一定的函數關系得出:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_n)
　　其中X_i為輸入量，而把Y稱之為輸出量。
　　例如:被測量為一個立方體的體積V，通過其長l、寬b和高h三個量的測量結果，按函數關系V=l·b·h計算，則l，b，h為輸入量，V為輸出量。

　　7.3  什么叫作線性合成？
　　例如在測量誤差的合成計算中，其各個誤差分量，不論是隨機誤差分量還是系統誤差分量，當合成為測量誤差時，所有這些分量按代數和相加。這種合成的方法稱為線性合成。
　　不確定度的各個分量如彼此獨立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個分量彼此強相關，且相關系數r=+1，則合成時是代數相加，即線性合成而非方和根合成。

　　7.4  什么叫靈敏系數？
　　當輸出量Y的估計值y與輸入量X_i的估計值x₁，x₂，…x_n之間有
　　y=f(x₁，x₂…，x_n)的函數關系時，在不確定度的傳播中，把偏導數，=c_i稱為靈敏系數，它定量地給出了輸入量x_i，與輸出量y之間的相互變化關系之比值。它本身也是個量值，有數值和量綱，往往其量綱并非1，而是有測量單位的，這種情況下不能將它按純數對待。
　　偏導數應該是在代入輸入量的估計值時作出評定，即在X_i=x_i時評定的。
　　
　　它描述了輸入估計值x_i的微小變化△x_i，引起y的變化(△y)_i=△x_i。如果這個變化是由估計值x_i的標準不確定度u(x_i)所引起，則y相應的變化為u(x_i)。因此，合成方差可以看作各項方差之和，而每一項代表了由每個輸入估計值x_i相關聯之估計方差產生的輸出估計值y的估計方差。也就是:
　　式中:
　　c_i=，u_i(y)=|c_i|u_i(x_i)
　　以下給出幾種比較簡單而又較常見的函數關系的靈敏系數:
　　(a)y=Ax₁+Bx₂
　　c₁=A；c₂=B
　　(b)y=1/x
　　c=-(1/x²)
　　(c)y=x₁/(x₁+x₂)
　　c₁=x₂/(x₁+x₂)²
　　c₂=-x₁/(x₁+x₂)²
　　(d)y=x/(1+x)
　　c=1/(1+x)²
　　(e)y=x₁x₂
　　c₁=x₂，c₁=x₁
　　(f)y=x²
　　c=2x
　　(g)y=x^1/2
　　c=1/2(2x^1/2)
　　
　　
　　以上A，B，a，b，k可以是負數或分數或等于1。
　　當用實驗方法求靈敏系數時，特別是在y與x_i之間不存在簡單函數關系時，可以通過將其余輸入量保持不變，僅變化第i個x_i，設變化量為△x_i，由此而導致的y的變化設為△y，則c_i=△y/△x_i。但也可通過函數關系計算出△y。
　　輸入量X_i的不確定度u(x_i)只有在乘了相應的靈敏系數c_i之后，才是輸出量Y的不確定度u(y)的一個分量u_i(y)。它們也才會有相同的量綱。

　　7.5  在線性函數關系中輸入量的相對標準不確定度u_rel(x_i)是否可以也按方和根合成為輸出量Y的相對標準不確定度u_rel(y)？
    在輸入量X₁，X₂，…，X_N彼此獨立的情況下，如果它們與輸出量Y的函數關系是線性的，例如最簡的一種情況:
    Y=X₁+X₂
若已知u_rel(x₁)與u_rel(x₂)，是不能按方和根計算Y的相對標準不確定度u_rel(y)的。例如:由兩個500g的砝碼相加，組成為輸出量1000g。每個500g砝碼的標準不確定度u(x₁)=u(x₂)=0.5g，則這輸出量1000g的不確定度實際上u(y)===0.71g。對1000g來說，其相對標準不確定度應為u_rel(y)=0.71g/1000g≈0.7×10^-3。但如果用相對不確定度來合成，u_rel(x₁)=u_rel(x₂)=0.5g/500g=1×10^-3，它們未合成前已大于u_rel(y)。顯然是不合理的。
    有些情況下，例如在化學分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對標準不確定度均是除以某個相同的分母，而輸出量的相對標準不確定度也是這同一個分母，這時是可以采用方和根來合成相對標準不確定度的。
    必須注意，盡管相對標準不確定度u_rel(x_i)都無例外地是無量綱量，它們都用純數給出，但是這些純數并不都是無條件地可以相對減或是進行方和根運算的。因為這些數都是量值，而且往往是不同定義的量值。
    也往往在這種相互獨立的線性函數中，輸入量X₁與X₂按B類方法評定時，一開始就是給出的相對標準不確定度u_rel(x₁)和u_rel(x₂)，例如通過測量儀器引用誤差評定的結果。那么，由于分母不同(輸出量與輸入量)，也是不能采用方和根得出輸出量的相對合成標準不確定度u_crel(y)的。在這種情況下，必須先把u_rel(x₁)與u_rel(x₂)算成標準不確定度u(x₁)與u(x₂)后再合成為u_c(y)；如這時要求給出u_crel(y)，即可將u_c(y)除以y。這是當前極易被忽略的問題之一。
    7.6  當輸入量X_i與輸出量Y之間的函數關系為Y=f(X₁，X₂，…，X_N)=……時，是否也應按先算出靈敏系數c_i通過=[c_iu(x_i)]²=(y)合成？
    可以這樣合成，但不一定要如此復雜。采用這種方法需要麻煩的偏導數。更為簡單的辦法是采用輸入量的相對標準不確定度u_rel(x_i)=u(x_i)/x_i>乘以其相應的x_i的指數p_i，即p_iu(x_i)/x_i，進行簡單的平方和得到輸出量Y的相對合成方差，即
    

如果我們要求得到u_c(y)而不是u_-crel(y)，則可將得到的u_crel(y)乘以y即可。這是一種完全等效的計算方法。
    例如通過物體質量m與其運動速度v的測量，求該物體的動能E_k。它們之間的函數關系式(稱測量模型)是:
    E_k=(1/2)mv²
    設輸入量m的標準不確定度為u(m)=lg，而m的最佳估計為1kg，速度v的量佳估計為100m/s，其標準不確定度u(v)=0.1m/s，求輸出量E_k的標準不確定度u(E_k)。這時，不必去求偏導數得出靈敏系數，而是求輸入量的相對標準不確定度u_rel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1×10^-3，u_rel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1×10^-3，m的指數為1，v的指數為2，則=(1×10^-3)²+(2×1×10^-3)²=5×10^-6，故u_rel(E_k)≈2.2×10^-3
    而u(E_k)=2.2×10^-3×(1/2)×1kg×(100m/s)²
    =2.2×10^-3×0.5×10⁴kg·m²/s²
    =11kg·m²/s²=11J
    如果p_i，只是正1或負1，則在這一情況下:
    

    這就是說:在這種情況下估計值y的相對合成標準不確定度，等于輸入估計值x_i的相對標準不確定度的方和根。舉例如下:
    設以鹽酸作為標準滴定溶液，用以測量某樣品中所含氫氧化鉀的質量分數W(KOH)，標準溶液的濃度c(HCl)=0.2(1±10^-3)mol/L(k=2)，則其標準不確定度u_rel[c(HCl)]=(1/2)×1×10^-3=0.5×10^-3。滴定終點消耗50mL，按所用的B級滴定管△=±0.6%(△為最大允許誤差)，由于通過兩次讀數之差得出，按正態分布考慮，取包含因子k=3，得消耗體積V的相對標準不確定度u_rel(V)=(1/3)×0.6%×=0.28×10^-2。氫氧化鉀的相對摩爾質量來自國際1995年公布的相對原子質量表，其不確定度大大小于10^-5，可忽略不計，其值M_r(KOH)=56.10024，在本例計算中可取近似為56.10，其修約導致的不確定度即可忽略。樣品質量m=10g，按所用天平和砝碼的相對擴展不確定度U_rel(m)=3×10^-4，包含因子k=3，得其相對標準不確定度為u_rel(m)=1×10^-4。計算方程(測量模型)為:
    W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)
        =(V(HCl)×c(HCl)×M(KOH))/m
代入輸出量的估計值得:
    W(KOH)=56.1×10^-3
其相對標準不確定度u_rel[W(KOH)]，可按u_rel(V)，u_rel(c)，u_rel(m)按方和根得出為:
    u_rel[W(KOH)]=
    
    =0.29×10^-2
如要求給出u[W(KOH)]，則再乘以W(KOH)的估計值:
    56.1×10^-3×0.29×10^-2=17×10_-5
    本例所討論的計算方法，提供了不需求靈敏系數對合成標準不確定度的計算。
    7.7  當輸入量X_i之間出現了兩個或兩個以上的量x_i明顯相關時，是否可以不去計算協方差或是相關系數進行合成標準不確定度的計算？
    在《JJF1059》中只提到協方差與相關系數的A類評定方法，將它與其他分量的方差相加進行合成。實際工作中，特別是在計量學領域，采用A類評定是十分復雜的。我們可以按經驗，把輸入量x_i中強相關的那些分量(u(x_i)等也是由若干分量合成的，其中既有與其他輸入量強相關的分量，也有相互獨立的分量)，按強相關(r=+1)先行單獨合成作為輸出量不確定度u(y)的一個分量，然后把不相關的那些分量按彼此獨立合成為u(y)的第二個分量，最后將此兩分量按彼此獨立來進行合成(參閱本講座6.18)。
    例如:在《JJF1059》合成標準不確定度u_c(y)的評定中，給過一個例子，當標稱值為1kΩ的10個電阻器，用1個值為R_s的標準電阻器校準，設校準過程中的不確定度遠小于R_s的標準不確定度u(R_s)而忽略不計，校準證書給出u(R_s)=0.10Ω。現將此10個電阻器用電阻可忽略的導線串聯構成一個10kΩ的參考電阻，其R_ref= f(R_i)=R_i(線性相加)。《JJF1059》中給出的電阻器的相關系數為r(R_i，R_j)=1，并不可能是按A類評定的，因為不存在多個標準器分別對這10個電阻器進行校準。這里的r(R_i，R_j)是按經驗得出的。通過經驗，當兩個(或多個)輸入量使用了同一個標準器或同一臺測量儀器時，或使用了相同的參考數據，則它們之間存在極大的正相關。10個電阻器的校準正是這種情況。在r=+1的情況下，
    即線性相加，因而，所構成的10kΩ的R_ref的合成標準不確定度
    u_c(R_ref)=u(R_i)
    =10×0.10Ω=1.0Ω
    但是，如果校準過程中帶來的不確定度并非可忽略不計，例如在對這10個中每個電阻器校準過程中的標準不確定度為0.5Ω，10個這樣的分量彼此獨立，大小也一樣，合成起來就是0.5Ω×=1.6Ω。它應按方和根與前面相關部分合成的1.0Ω合成的u(R_ref)==1.9Ω。
    7.8  合成標準不確定度u_c(y)的自由度計算中應注意什么問題？
    合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，符號為v_eff輸出量估計值y不確定度的各個分量u_i(y)的自由度不論是采用A、B兩類中的何種方法評定出的，u_i(y)的自由度與u(x_i)的自由度相同。不因為u(x_i)乘靈敏系數c_i之后而改變。計算式
    用于按u_i(y)計算的情況。如有相關項，協方差只出現在合成前u_c(y)的計算之中，在分母中不再出現。
    當用相對標準不確定度分量u_rel(x_i)合成時，u_crel(y)的有效自由度只按下式計算:
    

式中，p_i為x_i的指數，參閱7.6。