國家質檢總局  李慎安

　　一、問題的提出

　　在一個測量過程的數學模型中的兩個或兩個以上的輸入量X₁、X₂，……的估計值x₁，x₂，……之間，如果由于相同的原因導致他們出現了相互的聯系(同時都偏大或偏小地類似正比，或其一偏大另一偏小地類似反比)的現象，在不確定度評定中稱之為相關或互不獨立。

　　這種導致相關的原因一般有:
　　1.他們來自于同一測量儀器或測量裝置，特別是當x₁，x₂，……比較接近的情況下，會出現較大的相關性。
　　2.來自于相同的實物標準，例如:量塊、砝碼、量杯、量瓶、標準電阻、標準電池等計量標準器，特別是當檢測過程中隨機效應導致的分散性較小的情況下，會出現較大的相關性。
　　3.在獲得x₁，x₂，……中使用了相同的參考數據。
　　當輸入量估計值之間出現相關時，必然導致他們的協方差以及相關系數不為零。例如在輸入量x_i和x_j的估計值和的協方差的估計值是由n對獨立重復觀測值X_ik，X_jk所得到等，按統計方法給出的式子為:
    

　　很明顯，只有上式右邊的兩個殘差符號相同時，其積為正，而求和時有正值，導致協方差與相關系數估計值均為正，反之均為負。要用統計方法對此進行估計，則必須有n個儀器或計量標準。這作為一般實驗室很難做到，也就是本文所提出的問題之一。
    此外，當出現相關時，對輸出量Y的測量結果y的合成方差u_c²(y)，在JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》(以下簡稱《JJF1059》)給出了一個計算式(22)。它比不相關情況下的合成只多了一項。
    

　　

　　而這一項的協方差u(x_i，x_j)如果代之以相關系數的估計值
    

　　即可變成為:
    

    這就構成了《JJF1059》的式(25)。在式(25)下面，給出了當r(x_i,x_j)=+1的情況下，u_c(y)為由每個輸入估計值x_i的標準不確定度u(x_i)產生的輸出估計值y的標準不確定度分量u_i(y)=c_iu(x_i)的線性和。這里的問題是靈敏系數c_i是否應按u_i(y)的定義取絕對值。就像《JJF1059》式(19)的式中對u_i(y)所作的定義。這就是本文所提出的問題之二。
    《JJF1059》在討論r≠0情況下的合成中，給出了唯一的例子:
    當標稱值均為1kΩ的10個電阻器，用同一個值為R_s的標準電阻器校準時，設校準不確定度可忽略，檢定證書給出的R_s的標準不確定度u(R_s)=0.10Ω。現將此10個電阻器用電阻可忽略的導線串聯，構成標稱值為10kΩ的參考電阻。
    在求R_ref的合成標準不確定度時，對電阻器來說r(R_i，R_j)=1，，u(x_i)=u(R_i)=u(R_s)，則
    

故得
    

    這個例題的解中，給出的r(R_i,R_j) =1顯然不是按其定義，根據重復觀測結果評定出來的，而只是按題意所提供的信息評定，即:校準導致的分散性可忽略，因而R_i的不確定度u(R_i)中不再包含有隨機效應導致的分量而只有一個分量就是R_s的u(R_s)所導致的這一系統效應。從而R_s以1∶1的方式影響每個R_i的校準值。使R_i均以相同的量值偏大或偏小。這就是r=+1的依據，無疑這是可行的，也是對的。但是，如果對R_i校準過程中隨機效應導致的分量u_rd(R_i)不能忽略不計，對u_c(R_ref)應如何評定？這就是本文擬討論的問題之三。
    

二、關于相關系數

r為1的非統計方法估計與不確定度評定
    如果我們把《JJF1059》計算u_c²(y)的式子(25)簡化一下，再用更為簡單的符號以及設定只有兩個輸入量時:
    設:a=c₁u(x₁)
    b=c₂u(x₂)
    則式(25)成為:
    u_c²(y)=a²+b²+2abr如果r=0，就是x₁與x₂相互獨立的情況下的不確定度傳播律，即《JJF1059》中的式(18)和(19)。
    如果r=+1，則可得:
    u_c(y)=a+b
    把上式的右邊稱之為代數和較為妥當。因為我們在a與b的設定中，并未取c₁和c₂的絕對值而保留其原有正或負的符號。
    例如對有機化工產品中灰分的測定，樣品中灰分含量的質量分數w按下式計算:
    w=(m₁-m₂)/m
    式中:m₁——坩堝加灰分的質量；m₂——坩堝質量；m——試樣質量。
    m₁、m₂及m均用同一臺自動顯示電子天平測出。最大允許誤差MPE=±5mg，設其重復性標準偏差s_r=4mg。
    如果測得m=50.000g；m₁=40.100g；m₂=40.000g。
    很明顯，如果不考慮空氣浮力、溫度等導致的對測量結果分散性的影響(事實上，這種檢測中的這類影響可忽略不計)，那么，他們的不確定度u(m)、u(m₁)和u(m₂)都各有兩個分量，其一是天平示值的零修正Δm的標準不確定度u(Δm)=|MPE|×均勻分布的標準偏差轉換系數b∶0.6=5mg×0.6=3mg；另一是s_r。
    針對其分子，灰分質量m₃來說，m₃=m₁-m₂=0.1g。m₃的不確定度由4個分量組成，其中，兩個3mg與兩個s_r=4mg。
    u(m₁)的兩個分量，其靈敏系數均為+1；而u(m₂)的兩個分量，其靈敏系數均為-1。由于m₁與m₂相差甚小，這里為0.1g，對于所用電子天平來說，他們是很鄰近的兩個示值，因而有理由認為40.100g與40.000g這兩個值受相同示值誤差的影響而同時偏大或偏小了同一個值，我們說m₁與m₂這兩個輸入量在估計值正相關而且r=+1。而它們的s_r由于來自隨機效應而彼此獨立。
    根據《JJF1059》前言中所表明的評定不確定度方法中，與分量如何分組無關的原則，我們可以把這兩個r=+1的分量先行合成，其一為c₁u(m₁)=+1×3mg，另一為c₂u(m₂)=-1×3mg=-3mg，其代數和為零。剩下的兩個分量4mg由于r=0而應按方和根計算為，這就是灰分m₃的測量結果0.1g的標準不確定度。即分子的標準不確定度，至于分母m=50.000g的不確定度u(m)則按彼此獨立的兩個分量4mg與3mg合成為
    

    以下采用分子m₃與分母m的相對標準不確定度按方和根來求w的相對合成標準不確定度u_crel(w):
    u_rel(m₃)=5.7mg/0.1g=5.7×10^-2
    u_rel(m)=5mg/50g=1×10^-4
    很明顯u_crel(w)只決定于u_rel(m₃)為5.7×10^-2
    由于w=0.1g/50g=0.002=0.2%
    u_c(w)=u_crel(w)·w
    =5.7×10^-2×0.002=0.012%
    如按包含因子k=2給出擴展不確定度
    U=2×0.012%=0.024%
    測量結果給出:
    w=(0.200±0.024)%(k=2)
    可以看出，由于m₁與m₂的相關導致m₃的不確定度大為減小，這就是為什么來自于不同符號的靈敏系數在評定中不是取絕對值的原因。
    

三、相關系數

r既不能估計為+1或-1，又不能估計為零的不確定度評定
    在相關系數接近于+1或-1時，令其為+1或-1進行合成的評定是恰當的，但在有些情況下，既不能估計為+1或-1，而又不能估計輸入量估計值彼此獨立，即r=0，有的國家標準中(例如德國標準DIN1319-3:1996《單一被測量的不確定度評定》)建議給出r=+0.5或-0.5。
    例如:在使用天平測量某一質量Y=M時(這里Y作為輸出量符號)，分別采用了兩個標準砝碼X₁=M₁和X₂=M₂(這里X₁與X₂作兩個獨立的輸入量)，與之平衡而得出M=M₁+M₂，而質量M₁與M₂在事先是用同一個參考標準砝碼(計量標準器)進行校準的，參考標準的質量X_q=M₀。
    如果在對M₁與M₂進行校準時，校準過程中的不確定度分量(隨機效應導致的分散性)大大小于M₀的不確定度，則相關系數r(m₁,m₂)接近于+1，而導致:
    u(m₁，m₂)=u(m₁)u(m₂)
    而有
    u(m)=u(m₁)+u(m₂)
    而當對M₁和M₂進行校準時，校準過程中的不確定度分量遠大于M₀的不確定度，即可設定相關系數r(m₁,m₂)接近于零，即相互獨立從而導致
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)
    然而，在M₁與M₂的校準中，是否用了同一參考標準砝碼不能肯定的情況下，也就是既有可能是同一個，也有可能是不同的參考標準砝碼，則可估計相關系數
    r(m₁,m₂)=+0.5
    這時
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)+u(m₁)×u(m₂)
    設用兩個標稱值均為200g的砝碼m₁與m₂組成質量m=400g，其數學模型
    m=m₁+m₂
    如m₁與m₂在校準中所用標準砝碼質量m₀的標準不確定度u(m₀)=0.01g，設校準過程中出現的隨機效應導致的分散性可忽略不計，則可認為m₁與m₂的校準值是強相關而可估計為r=+1，由于它們的靈敏系數c₁=c₂=+1，m的合成標準不確定度
    u_c(m)=u(m₁)+u(m₂)
    =2×0.01g
    =0.02g
    但如果對m₁和m₂校準時并非使用同一標準砝碼而是各用了一個標準砝碼，它們的標準不確定度相同，均為0.01g，這時，如仍可認為校準過程中導致的分散性可以忽略，則可以認為m₁與m₂的校準值彼此獨立，即r=0，由于c₁=c₂=+1，輸出量m的合成標準不確定度
    

    第三種情況是不能肯定m₁與m₂的校準是否用的是同一個標準m₀，還是分別各用了一個。這兩種可能均存在，這時，應估計r=+0.5得
    

    根據以上的討論和例子，當兩個輸入量估計值的標準不確定度絕對值相等且均為1的情況下，相關系數r=+1和r=+0.5，它們的靈敏系數符號相同和不相同的情況下，這一系統效應導致的不確定度分量的合成可給出為下表
    

    可以得出一個近似的結論:這類數學模型中當c₁=c₂的情況下，對r的評定為1或0.5，影響u_c(y)不大，但c₁=-c₂時，r的評定為1或0.5對u_c(y)有明顯影響。
    與上述情況相仿，可以導出r=-1和-0.5的結果，從略。
    

四、隨機效應導致的分散性不能忽略情況下輸出量

Y估計值y合成標準不確定度的計算
    在本文開頭“問題的提出”中問題之三的例中，設校準過程的不確定度u_rd(R_i)=0.2Ω，顯然不能忽略，如果把10個R_i的不確定度u(R_i)的兩個分量:u(R_s)與u_rd(R_i)先行合成:
    

    而串聯后的電阻R_ref的合成標準不確定度u_c(R_ref)由這10個u(R_i)合成，這就出現了R_i之間相關系數的評定問題，從現有信息來考慮r不能是+1，但也不能是零。比較可靠的評定方法是不進行u(R_s)與u_rd(R_i)的合成而是按u_c(R_ref)有20個分量。其中10個u(R_s)=0.1Ω，它們之間屬于r=+1的相關。另10個u_rd(R_i)屬于隨機效應導致的分散性而相互獨立，按r=0進行合成。也就是把系統效應導致的分散性與隨機效應導致的分散性分別先行合成，得到
    來自R_s的10個合成為:10×0.1Ω=1.0Ω；
    來自校準過程的10個合成為:
    

    這兩部分間彼此獨立而可按方合根得出