北京市計量檢測科學研究院　佟江

　　一、概述

    JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》、JJF1001-1998《通用計量術語及定義》給出的“測量結果”的定義是:由測量所得到的賦予被測量的值。
    JJF1059、JJF1001在表述“測量不確定度”定義時，都對“測量結果”做了補充說明:測量結果應理解為被測量之值的最佳估計……。
    根據以上信息，我們對“測量結果”的特征，有了一個總體的觀點:
    (1)測量結果是測量活動中反映被測對象(被測量)本質屬性的量。
    (2)測量結果是量，但具體表現為值，是由測量所得到的賦予該量的值。
    (3)測量結果只能是被測量的估計量。由于測量不確定性的存在，測量結果不可能完全反映被測量。
    (4)測量結果要滿足最佳性，是被測量真值的最佳估計量。測量結果應以“盡可能好”的“最佳”方式反映被測量。
    (1)、(2)、(3)條是可以理解的，但在第(4)條中，何謂“最佳”、“盡可能好”呢？    

　　二、測量結果的最佳性

    按照“數理統計”觀點，評價一個估計量好壞標準主要是指估計量是否具有以下性質。
    無偏性:設是參數θ的估計量，E()是的數學期望(或稱平均值)，如果有E()=θ，則稱是參數θ的無偏估計量。
    有效性:設、都是參數θ的無偏估計量，D()、D()分別是、的方差，如果有D()≤D()，則稱是比有效的估計量。若是參數θ所有無偏估計量中方差最小的估計量，則稱是參數θ的最有效無偏估計量，又稱最優無偏估計量。
    在以“數理統計”為基礎的“估值理論”中，通常把無偏性與最優性(或稱最有效性)作為追求目標，所以構造估計量時，把滿足這兩個性質的估計量——最優無偏估計量認為是“最佳”估計量。這個結論對于測量結果同樣適用，從這點出發，可對“測量結果最佳性”作出定性解釋。
    測量結果是被測量真值的最佳估計量，是指得到的測量結果應該是被測量真值的最優無偏估計量，它應該具有如下兩個屬性:
    無偏性:是指測量結果的數學期望(或稱平均值)，就是被測量真值，表明對被測量真值的估計雖有分散，但總體上不偏離。
    最優性:是指在滿足無偏性條件下，測量結果的方差為最小，表明對被測量真值估計的分散程度達到最小。
    若把測量結果和被測量真值分別比作“打靶模型”中的子彈和靶心，無偏性是指數發子彈要“打得正”；最優性是指數發子彈要“打得密集(集中)”，這樣的成績才算是“最佳”的。
    根據經典的“誤差理論”，測量結果除包含被測量真值，還包含系統誤差、隨機誤差，即:
    測量結果=被測量真值+系統誤差+隨機誤差
    隨機誤差是隨機不確定性量，其數學期望(均值)通常設為零。系統誤差是確定量，它的存在使測量結果不滿足無偏性，故須考慮用系統誤差值修正，使修正后的測量結果滿足無偏性。然而，系統誤差及其原因不能完全獲知，僅能有限獲知并有限修正。所以可認為，系統誤差分成如下兩個部分:
    確定性系統誤差(以下簡稱確定系差)就是能夠修正、補償的系統誤差部分，該部分誤差可以根據已知系統效應確定，具有完全確定性，其相反數就是測量結果的修正量(值)。
    非確定性系統誤差(以下簡稱非確定系差)就是不能夠修正、補償的系統誤差部分，該部分誤差由于系統的復雜性、認知的不足等因素，不能確定、難以確定或沒必要確定，所以它具有等效的隨機不確定性，由于對它未掌握，故其數學期望(均值)作為零處理。
    于是，系統誤差是確定系差與非確定系差的合成，即:
    系統誤差=確定系差+非確定系差
    測量結果就可表示為如下形式:
    測量結果=被測量真值+確定系差+非確定系差+隨機誤差
    現引入以下符號表示有關量:R——測量結果；δ——確定性系統誤差；C——被測量真值；ε——非確定性系統誤差；Δ——系統誤差；ξ——隨機誤差。
    上述公式就是:Δ=δ+ε
    R=C+Δ+ξ=C+δ+ε+ξ
    由于C、δ、ε、ξ這些量存在質的差異，所以它們都是相互獨立的量，故有:
    E(C)=C；E(δ)=δ；E(ε)=0；E(ξ)=0
    E(R)=E(C)+E(δ)+E(ε)+E(ξ)=C+δ，即E(R-δ)=C  (1)
    D(C)=0；D(δ)=0；D(ε)=σ_ε²；D(ξ)=σ_ξ²
    D(R)=σ_R²=D(C)+D(δ)+D(ε)+D(ξ)=σ_ε²+σ_ξ²  (2)
    其中，E(  )——相應量的數學期望；D(  )——相應量的方差；σ——相應量的標準差。
    從以上結論可對“測量結果最佳性”作出如下定量解釋:
    無偏性:式(1)表示，用修正量(即:確定系差的相反數)修正后的測量結果，是被測量真值的無偏估計，滿足無偏性。
    最優性:式(2)表示，修正后的測量結果方差(即分散性)是系統效應與隨機效應引起的方差(即分散性)的合成。該方差達到最小時滿足最優性，測量結果就是被測量真值的最優無偏估計量，即最佳估計量。
    從式(2)我們還得到式(3):
    
　　從式(3)得出一個重要結論，由系統效應引起的不確定性(度)分量與隨機效應引起的不確定性(度)分量都貢獻給了測量結果的分散性，使測量結果具有不確定性(度)。式(3)實際就是“測量不確定度”(嚴格地說是“標準不確定度”)的形式化數學定義。該數學表達在JJF1059、JJF1001沒有明確給出，但從字里行間卻能夠品味到它的存在。筆者認為，式(3)對正確理解JJF1059、JJF1001中“測量不確定度”概念是有益的。

　　這樣，“測量結果最佳性”又可解釋為:修正后的測量結果滿足無偏性，在此條件下，如果測量(標準)不確定度達到最小，則測量結果就是被測量真值的最優無偏估計量，即最佳估計量。

　　但是，如何使式(2)的測量方差，或式(3)表示的測量(標準)不確定度達到最小呢？由式(3)可知，測量不確定度σ_R是非確定系差不確定度σ_ε與隨機誤差不確定度σ_ξ按幾何方式(或稱矢量方式)合成的，非確定系差與隨機誤差是相互獨立的，所以σ_R達到最小當且僅當σ_ε與σ_ξ都達到最小。σ_ξ是由于隨機效應引起的不確定度，與統計相關，根據“數理統計”，σ_ξ有一個與隨機誤差概率分布f(x)和測量次數n有關的下限值L(f，n)，σ_ξ達到此下限值即達到最小，并且還可證明，，這說明通過增加測量次數n，有助于使σ_ξ達到最小。σ_ε是由于系統效應引起的不確定度，與測量手段和對系統認知的程度相關，通過改善測量手段，如正反行程讀數、正倒鏡測量取平均等，可以有效消除系統誤差以減少σ_ε；提高對系統認知程度，研究、建立系統誤差的數學模型，使更多系統效應由未知變為已知，修正到測量結果中，這是減少σ_ε的最有效途徑；通過有益的信息，如測量儀器的檢定或校準信息、測量系統結構信息等，獲得最可靠修正量(值)修正測量結果，這是減少σ_ε的快捷手段。

　　以上討論了“測量結果最佳性”的內涵。“測量結果最佳性”與“測量不確定度”概念的靈活性、科學嚴謹性是相互關聯、相互映襯的。所以，正確理解它們的涵義，有益于在測量實踐活動中，正確獲取測量結果，正確評定測量不確定度。